The Bessel functions in the sum are all of the same order ν, but differ in a scaling factor k along the r-axis. Les fonctions de Bessel dans la somme sont toutes du même ordre ν, mais diffèrent par un facteur k sur l'axe radial.
2.
The necessary coefficient Fν of each Bessel function in the sum, as a function of the scaling factor k constitutes the transformed function. Le coefficient nécessaire Fν de chaque fonction de Bessel dans la somme, vu comme une fonction du facteur d'échelle k, constitue la transformée.
3.
A Bessel beam is a field of electromagnetic, acoustic or even gravitational radiation whose amplitude is described by a Bessel function of the first kind. Un faisceau de Bessel est un champ de radiations électromagnétiques,,, acoustiques ou gravitationnelles dont l'amplitude suit une fonction de Bessel de première espèce.
4.
The Hankel transform of Zernike polynomials are essentially Bessel Functions (Noll 1976): R n m ( r ) = ( − 1 ) n − m 2 ∫ 0 ∞ J n + 1 ( k ) J m ( k r ) d k {\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\operatorname {d} \!k} for even n − m ≥ 0. Les transformées de Hankel des polynômes de Zernike sont des fonctions de Bessel (Noll 1976): R n m ( r ) = ( − 1 ) n − m 2 ∫ 0 ∞ J n + 1 ( k ) J m ( k r ) d k
5.
The Hankel transform of order ν of a function f(r) is given by: F ν ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J ν ( k r ) r d r {\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\operatorname {d} \!r} where J ν {\displaystyle J_{\nu }} is the Bessel function of the first kind of order ν {\displaystyle \nu } with ν ≥ − 1 2 {\displaystyle \nu \geq -{\frac {1}{2}}} . La transformation de Hankel d'ordre ν d'une fonction f(r) est donnée par : F ν ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J ν ( k r ) r d r
6.
The special case for μ 1 = μ 2 ( = μ ) {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )} is given by Irwin (1937): p ( k ; μ , μ ) = e − 2 μ I | k | ( 2 μ ) . {\displaystyle p\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).} Note also that, using the limiting values of the modified Bessel function for small arguments, we can recover the Poisson distribution as a special case of the Skellam distribution for μ 2 = 0 {\displaystyle \mu _{2}=0} . Le cas spécial où μ 1 = μ 2 ( = μ )
7.
A Lommel polynomial Rm,ν(z), introduced by Eugen von Lommel (1871), is a polynomial in 1/z giving the recurrence relation J m + ν ( z ) = J ν ( z ) R m , ν ( z ) − J ν − 1 ( z ) R m − 1 , ν + 1 ( z ) {\displaystyle \displaystyle J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)} where Jν(z) is a Bessel function of the first kind. Les polynômes de Lommel, Rm,ν(z), introduits par Eugen von Lommel en 1871, sont des polynômes en 1/z vérifiant la relation suivante: J m + ν ( z ) = J ν ( z ) R m , ν ( z ) − J ν − 1 ( z ) R m − 1 , ν + 1 ( z )
8.
The lateral intensity distribution on the screen has in fact the shape of a squared zeroth Bessel function of the first kind when close to the optical axis and using a plane wave source (point source at infinity): U ( P 1 , r ) ∝ J 0 2 ( π r d λ b ) {\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)} where r is the distance of the point P1 on the screen from the optical axis d is the diameter of circular object λ is the wavelength b is the distance between circular object and screen. Au voisinage de l’axe optique, la distribution radiale d'intensité sur l'écran produite par la diffraction d'une source lumineuse plane (source ponctuelle à l'infini) est donnée par le carré de la Fonction de Bessel de première espèce, d'ordre zéro : U ( P 1 , r ) ∝ J 0 2 ( π r d λ b )
